Η ομορφιά των μαθηματικών

Οι μαθηματικοί βιώνουν την ομορφιά των εξισώσεων
όπως οι κοινοί θνητοί βιώνουν την ομορφιά των έργων τέχνης.
Ο διακεκριμένος νευροβιολόγος Σεμίρ Ζέκι εξηγεί,
τι μας λέει αυτό για τον ανθρώπινο εγκέφαλο.
.
Χάος – ο ελκυστής του Λόρεντζ, οπτικοποίηση για το Imaginary από τους Aurelien Alvarez, Etienne Ghys και Jos Leys
.

 Θα λέγατε ποτέ ότι μια εξίσωση είναι όμορφη; Αν δεν έχετε καλή σχέση με τα μαθηματικά, μάλλον θα απαντήσετε αρνητικά. Οι μαθηματικοί ωστόσο πολύ συχνά χρησιμοποιούν τη λέξη «ωραία» για να εκφράσουν τον θαυμασμό τους προς μια εξίσωση που θεωρούν ξεχωριστή. Και μάλιστα δεν μένουν απλώς στα λόγια. Οι περισσότεροι υποστηρίζουν ότι αυτή την ομορφιά τη νιώθουν πραγματικά, τους συγκινεί με τον ίδιο τρόπο που θα τους συγκινούσε καθετί ωραίο, όπως για παράδειγμα ένα έργο τέχνης. Αυτό ακριβώς ήταν που ώθησε τον Σεμίρ Ζέκι, διακεκριμένο νευροεπιστήμονα και καθηγητή του University College του Λονδίνου, να εξετάσει τους ισχυρισμούς τους στον εγκεφαλικό τομογράφο.

Herwig Hauser

Το «Λεμόνι» (φωτογραφία αριστερά) και το «Παράδεισος και κόλαση» είναι δύο από τις «κλασικές» αλγεβρικές εξισώσεις που οπτικοποιήθηκαν με το πρόγραμμα Surfer του Imaginary από τον Herwig Hauser
..
Ο καθηγητής Ζέκι, ο οποίος έχει στο ενεργητικό του μια σειρά σημαντικές ανακαλύψεις σχετικά με το οπτικό σύστημα του εγκεφάλου, έχει στρέψει τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στον τομέα της νευροαισθητικής διερευνώντας την αισθητική «λειτουργία» του εγκεφάλου μας. Ενα από τα πιο σημαντικά ευρήματα των μελετών του, οι οποίες ήταν οι πρώτες του είδους, είναι ότι η ομορφιά, είτε προέρχεται από οπτικά ερεθίσματα, όπως στην περίπτωση ενός ζωγραφικού πίνακα ή ενός γλυπτού, είτε από ακουστικά, όπως στην περίπτωση ενός μουσικού κομματιού, «αποτυπώνεται» στην εγκεφαλική δραστηριότητά μας ενεργοποιώντας κυρίως μια συγκεκριμένη περιοχή στον λεγόμενο  «συναισθηματικό εγκέφαλο», τον έσω κογχομετωπιαίο φλοιό (mOFC). Αντίστοιχα ένα έργο τέχνης ή ένα μουσικό κομμάτι το οποίο θεωρούμε άσχημο ενεργοποιεί διαφορετικές – αλλά και πάλι συγκεκριμένες – περιοχές, κυρίως την αμυγδαλή και τον κινητικό φλοιό (δείτε και «Το μέτρο της ομορφιάς», «ΒΗΜΑScience», 7.10.2012)..
Τι έκανε όμως τον νευροβιολόγο να στρέψει το ενδιαφέρον του από την «απτή» ομορφιά των αισθήσεων στην καθαρά «αφηρημένη» ομορφιά των μαθηματικών; «Οι λόγοι είναι δύο» μας απαντά ο κ. Ζέκι, τον οποίο συναντήσαμε στην Αθήνα, όπου βρέθηκε με αφορμή την αναγόρευσή του ως επίτιμου διδάκτορα του Ιατρικού Τμήματος της Σχολής Επιστημών Υγείας του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών (ειδικά για την περίσταση μάλιστα εκδόθηκε και διατέθηκε στην τελετή το βιβλίο «Η νευροαισθητική στον 21ο αιώνα – Από τον Πλάτωνα στον Ζέκι» της επίκουρης καθηγήτριας Νευρολογίας Μαρίας Αναγνωστούλη-Πουλημένου). «Κατ’ αρχάς ήθελα να δω αν αυτή η συναισθηματική εμπειρία της ομορφιάς που περιγράφουν οι μαθηματικοί και η οποία προέρχεται από μια πολύ νοητική πηγή προκαλεί δραστηριότητα στα ίδια σημεία του εγκεφάλου με την ομορφιά που προέρχεται από περισσότερο αισθητηριακές πηγές» εξηγεί.«Δεύτερον, από τον Πλάτωνα και μετά οι μεγάλοι φιλόσοφοι έχουν υποστηρίξει ότι από την ομορφιά παίρνουμε γνώση. Τι είδους γνώση παίρνουμε λοιπόν από τα μαθηματικά; Οι μεγάλοι μαθηματικοί και φυσικοί, όπως ο Πολ Ντιράκ και ο Αλμπερτ Αϊνστάιν, έχουν πει ότι το βασικό χαρακτηριστικό ενός μαθηματικού τύπου ο οποίος είναι αληθής είναι η ομορφιά. Η μελέτη αυτού του είδους της ομορφιάς αναδεικνύεται επομένως σε ένα πολύ ευρύ και πολύ βαθύ ερώτημα σχετικά με το τι είδους γνώση για τον κόσμο μας μάς προσφέρει»..
.
Ομορφιά = αλήθεια.
Για να στηρίξει την άποψη ότι με κάποιον τρόπο στο μυαλό μας η ομορφιά συνδέεται με αυτό που θα αποκαλούσαμε «σωστό» ή «αλήθεια» ο καθηγητής φέρνει ως παράδειγμα την περίπτωση του γερμανού μαθηματικού, θεωρητικού φυσικού και φιλοσόφου Χέρμαν Βέιλ, ο οποίος ήταν ένας από τους πρώτους που προσπάθησαν να συνδέσουν τον ηλεκτρομαγνητισμό με τη γενική θεωρία της σχετικότητας. «Κατέληξε σε έναν μαθηματικό τύπο που ο ίδιος πίστευε ότι ήταν πολύ ωραίος αλλά κανείς δεν τον αποδεχόταν γιατί έλεγαν ότι δεν ισχύει» αναφέρει. «Για καμιά δεκαριά χρόνια κανένας δεν έμπαινε καν στον κόπο να τον κοιτάξει. Και ύστερα, με την έλευση της κβαντομηχανικής, ξαφνικά αποδείχθηκε ότι ίσχυε. Εδώ έχουμε λοιπόν μια πίστη στα γεγονότα η οποία στηρίζεται στην ομορφιά πολύ προτού το γεγονός γίνει γνωστό. Και αυτό είναι εκπληκτικό. Ποιες είναι λοιπόν οι αλήθειες που τα μαθηματικά αποκαλύπτουν μέσω της ομορφιάς;».
Η παρατήρηση ότι ένα από τα βασικά επιχειρήματα όσων βρίσκουν μια εξίσωση ωραία είναι πως «έχει νόημα» γι’ αυτούς δίνει κατά την άποψη του καθηγητή τροφή για σκέψη σε πολλά επίπεδα. «Μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την «Πιετά» του Μικελάντζελο, ότι έχει νόημα; Μπορούμε. Τι σημαίνει, λοιπόν, αυτό το «έχει νόημα;»» διερωτάται.«Φαντάζομαι ότι σημαίνει πως κάτι στη λογική και στον εγκέφαλό μας μάς λέει ότι είναι σωστό, ότι ταιριάζει» συμπληρώνει, προσθέτοντας ότι τα αποτελέσματα αυτής της τελευταίας μελέτης έκαναν τον ίδιο και τους νευροεπιστήμονες και μαθηματικούς συνεργάτες του να συνειδητοποιήσουν ότι άνοιξαν ένα νέο πεδίο προβληματισμού το οποίο απλώνεται σε πολλούς τομείς. «Εγώ τουλάχιστον προβληματίζομαι σχετικά με το εξής: Εχουμε εξελιχθεί στο Σύμπαν. Σε ποιον βαθμό η διατεταγμένη δομή αυτού του Σύμπαντος έχει αποτυπωθεί στον εγκέφαλό μας;» λέει. «Ενα παράδειγμα που μου αρέσει να φέρνω είναι αυτό της θεωρίας των χορδών. Η θεωρία των χορδών είναι μια θεωρία για την οποία δεν υπάρχει πειραματική απόδειξη. Είναι καθαρά θεωρητική. Το ερώτημα είναι: Θα μπορούσαν οι άνθρωποι να επινοήσουν μια θεωρία σαν αυτήν αν δεν είχαμε την εγκεφαλική δομή και λειτουργία που διαθέτουμε; Πιστεύω ότι υπάρχει κάτι στην οργάνωση του εγκεφάλου μας το οποίο μας επιτρέπει να επινοούμε τέτοιες θεωρίες».
.
Το κάλλος της γνώσης
.
Υπό αυτό το νέο πρίσμα, σε τι χρησιμεύει τελικά η ομορφιά; «Αυτό είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα συμπεράσματα που αναδεικνύονται» μας απαντά. «Οι περισσότεροι, συμπεριλαμβανομένων των επιστημόνων και των καλλιτεχνών, θα σας πουν ότι η επιστήμη είναι για τη γνώση και η τέχνη είναι για την απόλαυση. Η ομορφιά και η τέχνη δεν είναι το ίδιο, αλλά για πολύ μεγάλο διάστημα είχαν εξισωθεί, και η ομορφιά είναι επίσης για την απόλαυση. Δεν νομίζω όμως ότι ο Πλάτων θα είχε την ίδια άποψη. Ο Πλάτων θα σας έλεγε ότι η ομορφιά οδηγεί στη γνώση και στη σοφία. Και η γνώση και η σοφία, η απόκτηση της γνώσης, κινούν τη λειτουργία του εγκεφάλου. Ο εγκέφαλος παλεύει διαρκώς για τη γνώση».
Αυτό κατά την άποψη του καθηγητή τοποθετεί τον τομέα της νευροαισθητικής σε ένα άλλο, πολύ πιο «βαρύ» επίπεδο από την ελαφρότητα που ενδεχομένως αποπνέει για ορισμένους το συνθετικό «αισθητική». «Για μεγάλο διάστημα ο κόσμος έλεγε: «Νευροαισθητική, τι είναι αυτό; Ο Ζέκι γέρασε. Δούλεψε πάνω στην όραση, στην όραση των χρωμάτων, της κίνησης, των σχημάτων, στις οπτικές περιοχές του εγκεφάλου και τα λοιπά, αυτά ήταν σκληρή επιστήμη. Τώρα γέρασε και κάνει μαλακή επιστήμη»» μας λέει. «Τα πράγματα όμως είναι αντίστροφα. Αυτό που κάνω τώρα είναι σκληρή επιστήμη. Η άλλη είναι εύκολη επιστήμη. Το να κοιτάζεις τις συνδέσεις του εγκεφάλου, από το Α στο Β, αυτό είναι εύκολο. Το να κοιτάζεις πώς αποκρίνονται τα κύτταρα στα ηλεκτρόνια, αυτό είναι εύκολο. Το να μπορέσεις όμως να κατανοήσεις τη νευροβιολογική βάση της ομορφιάς και τι αυτή θέλει να πει και πώς ενσωματώνονται διαφορετικά είδη ομορφιάς σε ένα ενιαίο σύστημα, αυτό είναι σκληρή επιστήμη. Πολύ σκληρή επιστήμη»..
.
Ωραίες και άσχημες
Οι εξισώσεις στον τομογράφο
.

Ωραιότερη εξίσωση κρίθηκε η ταυτότητα του Οϊλερ (πάνω), ασχημότερη η σειρά απείρων όρων του Ραμάνουτζαν (κάτω)
.
Προκειμένου να ελέγξει αν η «αφηρημένη» ομορφιά των εξισώσεων, η οποία είναι αποτέλεσμα καλλιέργειας και μάθησης και απορρέει από νοητικές διεργασίες και όχι από αισθητηριακά ερεθίσματα, βιώνεται με τον ίδιο τρόπο με την ομορφιά που προκύπτει από την τέχνη, ο νευροεπιστήμονας αποφάσισε να ακολουθήσει την ίδια πειραματική μεθοδολογία με τις προηγούμενες μελέτες του. Με μία διαφορά: ενώ στα προηγούμενα πειράματα, στα οποία είχε διερευνήσει την «οικουμενική» ομορφιά των αισθήσεων, είχε επιλέξει να εξετάσει «κοινούς θνητούς» αποκλείοντας τους ειδήμονες όπως οι κριτικοί και οι ιστορικοί έργων τέχνης ή οι ζωγράφοι και οι μουσικοί, τη φορά αυτή οι συμμετέχοντες ήταν μαθηματικοί και μάλιστα προχωρημένου επιπέδου – μεταπτυχιακοί ή μεταδιδακτορικοί ερευνητές. Οι 15 συμμετέχοντες κλήθηκαν αρχικά να αξιολογήσουν μια σειρά  εξισώσεις ως «ωραίες», «ουδέτερες» ή «άσχημες». Στη συνέχεια είδαν σε τέσσερις διαφορετικές συνεδρίες τις εξισώσεις αυτές να προβάλλονται σε μια οθόνη ενώ οι ίδιοι υποβάλλονταν σε λειτουργική μαγνητική τομογραφία (fMRI) και έκαναν ξανά την αξιολόγησή τους..
Οπως μας λέει ο Σεμίρ Ζέκι, σε ορισμένες περιπτώσεις η αξιολόγηση διέφερε – κάποιος π.χ. μπορεί την πρώτη φορά να είχε αξιολογήσει μια εξίσωση ως «ουδέτερη» αλλά στον εγκεφαλικό τομογράφο να τη θεώρησε «ωραία» ή το αντίστροφο. Το σημαντικό όμως εύρημα που προέκυψε από τις απεικονίσεις ήταν ότι, πέραν των πολλών διαφορετικών περιοχών που ενεργοποιούνται όταν κάποιος εξετάζει μια μαθηματική εξίσωση, στις «ωραίες» εξισώσεις ο εγκέφαλος των εθελοντών εμφάνιζε δραστηριότητα στον έσω κογχομετωπιαίο φλοιό, ακριβώς όπως είχε συμβεί στα πειράματα με τα έργα τέχνης και τις μουσικές συνθέσεις. Επιπλέον, όπως και στα προηγούμενα πειράματα, όσο πιο ωραία έκρινε ο εθελοντής μια εξίσωση τόσο πιο έντονη ήταν η δραστηριότητα στη συγκεκριμένη περιοχή. Αν και παρατηρήθηκαν κάποιες αποκλίσεις, σε γενικές γραμμές για ορισμένες εξισώσεις υπήρξε ομοφωνία: η πιο ωραία από όλες, βάσει των αξιολογήσεων, ανακηρύχθηκε η ταυτότητα του Οϊλερ, ακολουθούμενη από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τον τύπο του Οϊλερ που αφορά τη σχέση μεταξύ εκθετικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων και τις εξισώσεις των Κοσί – Ρίμαν. Ως πιο άσχημη κρίθηκε από τους περισσοτέρους η σειρά απείρων όρων για 1/π του Ραμάνουτζαν, ακολουθούμενη από τη συναρτησιακή εξίσωση του Ρίμαν. Στην κατηγορία των «ουδέτερων» τοποθετήθηκαν μεταξύ άλλων η χαρακτηριστική του Οϊλερ (ή τύπος πολυέδρων του Οϊλερ) και το θεώρημα Γκάους – Μπονέ.

.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ Ή ΕΙΚΟΝΑ;
Στον εγκέφαλο ενός μαθηματικού
.
Τι είναι εκείνο που κάνει μια εξίσωση ωραία στα μάτια ενός μαθηματικού; «Νομίζω ότι ένας σημαντικός παράγοντας είναι ο συνδυασμός της απλότητας με την πολυπλοκότητα. Θα πρέπει, όταν την κοιτάζεις, να είναι κατά κάποιον τρόπο κομψά απλή, αλλά ταυτόχρονα να μεταδίδει κάτι βαθύ και σύνθετο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ντάνιελ Ματ, μαθηματικός του Μαθηματικού Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ στη Γερμανία.
Ολα βεβαίως, όπως προσθέτει, εξαρτώνται από την εμπειρία που έχει κάποιος. «Αν δουλεύεις πολύ με πολύ σύνθετες εξισώσεις, προφανώς τις βρίσκεις και αυτές πολύ ωραίες γιατί τις ξέρεις και σε συγκινούν μόλις τις βλέπεις» εξηγεί. «Εδώ λοιπόν ερχόμαστε στον δεύτερο παράγοντα, τη συγκίνηση, τα συναισθήματα που σου προκαλεί η εξίσωση όταν την κοιτάζεις. Αυτά φυσικά σχετίζονται είτε με την εμπειρία που είχες δουλεύοντας με αυτήν είτε με την εμπειρία που βιώνεις εκείνη τη στιγμή όταν κοιτάζεις μια εξίσωση και αυτή σου προσφέρει ένα νέο στοιχείο ή μια καινούργια γνώση. Για παράδειγμα, η ταυτότητα του Οϊλερ δίνει μια νέα σχέση μεταξύ των άρρητων αριθμών και του 1 ή του -1 και του 0. Είναι απλή, αλλά σου δείχνει μια σχέση η οποία σε εκπλήσσει και δεν την περίμενες». Ο τρίτος παράγοντας είναι δυσκολότερο να προσδιοριστεί αλλά φαίνεται να είναι εξίσου σημαντικός – αν όχι σημαντικότερος, αν σκεφθούμε και την «εξίσωση» των επιστημόνων που θέλει την ομορφιά να ισοδυναμεί με το «σωστό» και την «αλήθεια». «Δεν ξέρω πώς να το περιγράψω ακριβώς, είναι ένα συναίσθημα, μια αίσθηση ότι πρόκειται για κάτι κλασικό και αιώνιο, ένα είδος μακροπρόθεσμης ομορφιάς – κάτι το οποίο υπήρχε, υπάρχει και θα υπάρχει πάντα, θα είναι πάντα έτσι. Είναι απλό αλλά και πολύ βαθύ ταυτοχρόνως»..
Ο καθηγητής Ζέκι μας είπε ότι ο σερ Μάικλ Ατίγια, ο επιφανής βρετανός μαθηματικός με τον οποίο συνεργάστηκε στη μελέτη, απογοητεύθηκε από το γεγονός ότι η σειρά απείρων όρων του Ραμάνουτζαν, μια πολύ σημαντική εξίσωση, αξιολογήθηκε ως η πιο άσχημη. Ο κ. Ματ έχει όμως μια εξήγηση γι’ αυτό και μας τη σχηματοποιεί με έναν μουσικό παραλληλισμό, παρομοιάζοντας την εξίσωση του Οϊλερ με τη μουσική του Μότσαρτ και εκείνη του Ραμάνουτζαν με τη σύγχρονη κλασική μουσική. «Εγώ θεωρώ ότι και η εξίσωση του Ραμάνουτζαν είναι πολύ ωραία, πρέπει όμως να την έχει συνηθίσει κάποιος για να την εκτιμήσει. Ξέρετε, υπάρχει σχέση με την τέχνη και τη μουσική. Για παράδειγμα, η κλασική μουσική του Μότσαρτ είναι εύκολη στο άκουσμα, την έχουμε συνηθίσει και μας αρέσει αμέσως, όπως η εξίσωση του Οϊλερ. Η σύγχρονη κλασική μουσική είναι όμως δύσκολη, όπως και η free jazz. Αρχικά μπορεί να ηχεί ακόμη και άσχημη. Οταν όμως κάποιος «μπει» μέσα σε αυτήν, τη λατρεύει. Οι σύνθετες εξισώσεις όπως αυτή του Ραμάνουτζαν είναι κάπως έτσι. Δεν ξέρω αν μπορεί κάποιος να πει ότι είναι σύγχρονα μαθηματικά, είναι όμως μια διαφορετική θεωρία των αριθμών»..
Ο μαθηματικός εργάζεται μεταξύ άλλων στο Imaginary, ένα πρόγραμμα του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ το οποίο έχει ως στόχο να κάνει κατανοητά τα μαθηματικά στο ευρύ κοινό. Ενα από τα «εργαλεία» που έχουν αναπτύξει για αυτόν τον σκοπό είναι το Surfer, ένα λογισμικό που επιτρέπει στον χρήστη να οπτικοποιήσει εξισώσεις και να τις μετατρέψει, προσθέτοντας χρώματα και τοποθετώντας τες στον χώρο, σε πραγματικά έργα τέχνης (το «ΒΗΜΑScience» σε συνεργασία με το Ινστιτούτο είχαν διοργανώσει έναν σχετικό διαγωνισμό – δείτε και «Η ομορφιά του Imaginary», «ΒΗΜΑScience», 13.2.2011). Το Surfer λειτουργεί μόνο με αλγεβρικές εξισώσεις, οπότε δεν μπορεί να μας προσφέρει τη χαρά να απολαύσουμε έστω οπτικά τις εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν στη μελέτη του καθηγητή Ζέκι. Το βέβαιον πάντως είναι ότι, ακόμη και αν είχαμε αυτή την ευκαιρία, η συγκίνηση που θα νιώθαμε θα ήταν εντελώς διαφορετική από αυτήν των «μυημένων» στα μαθηματικά. Οπως μας λέει ο κ. Ματ, οι μαθηματικοί δεν μετατρέπουν απαραίτητα στο μυαλό τους τις εξισώσεις σε εικόνες – ο τρόπος που τις αντιλαμβάνονται δεν είναι τόσο οπτικός όσο νοητικός. «Με το Surfer όμως η εξίσωση γίνεται εικόνα και αυτό είναι ένα άλλο είδος ομορφιάς το οποίο χρησιμοποιούμε πολύ στο Imaginary» εξηγεί.«Είναι η ομορφιά της οπτικοποίησης των εξισώσεων που προσφέρει ως αποτέλεσμα μια όμορφη εικόνα των αλγεβρικών επιφανειών στον χώρο. Και αυτό είναι ωραίο, με έναν διαφορετικό τρόπο».
tetragoniki riza 01

 

6 comments so far

  1. B.... on

    http://goo.gl/fw2IQh

    Η Τέχνη, η γεωμετρία και η αρχή της σχέσης τους
    του Γιάννη Παναγόπουλου //

    a2Δηλώνουν: «Μετά τις δημοσιεύσεις που έγιναν στο «Nature» και στο «New Scientist (δύο, σε παγκόσμιο επίπεδο, περίοπτες περιοδικές επιστημονικές εκδόσεις), οι ειδήσεις για τη δουλειά μας αναπαρήχθησαν από πολλά μέσα παγκοσμίως: «La Republicca», «El Pais» μέχρι και «Manilla Times» έγραψαν για εμάς. Ειδικά άρθρα γύρω από τις εργασίες μας φιλοξένησαν οι «Frankfurter Algemeine Zeitung», «Epoc», «Minerva», «Discovery», «Spectrum». Κατά τα άλλα, δουλεύουμε χωρίς υποστήριξη από το ελληνικό κράτος. Είμαστε εθελοντές σε δύο πρότζεκτ που απαιτούν πολλές ώρες επιστημονικής εργασίας. Η ομάδα μας δεν τυγχάνει καμίας οικονομικής υποστήριξης από το δημόσιο ελληνικό πανεπιστήμιο, το ελληνικό κράτος. Σ’ ένα μικρό κομμάτι της έρευνας, στη γραφολογική ανάλυση και την ταυτοποίηση αρχαίων επιγραφών, βοήθησε οικονομικά το ίδρυμα Λάτση». Οι επιστημονικές ανακοινώσεις της ομάδας του Κώστα Παπαοδυσσέα, Καθηγητή της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών (Σ.Η.Μ.Μ.Υ.) του Ε.Μ.Π., είναι πολύ κοντά, ίσως να το έχουν ήδη κάνει, να ανακαλύψουν το πότε οι άνθρωποι συνδυάσαμε την τέχνη με τα μαθηματικά.

    a4-p18sh4ntjk138p11e31qppn24mlqΤο θέατρο της έρευνάς τους εξελίσσεται σε δύο μέτωπα. Το πρώτο «έτρεξε» στη Σαντορίνη. Στο Ακρωτήρι. Η ομάδα του Παπαοδυσσέα ανακάλυψε πως οι κάτοικοι του συγκεκριμένου οικισμού ήδη από το 1650 π.Χ. χρησιμοποιούσαν γεωμετρικά όργανα στη ζωγραφική τοιχογραφιών. Οι Μ. Παναγόπουλος, Π. Ρουσόπουλος, Δ. Αραμπατζής και Μ. Έξαρχος είναι μέλη της ομάδας που κατάφερε να κλέψει γερές δόσεις παγκόσμιας επιστημονικής επικαιρότητας. Στην ερώτηση – προτροπή: «Θέλετε να μας πείτε κάτι για τη δουλειά σας;» κυριολεκτικά με μια φωνή απαντούν: «Η τελειότητα στις γραμμές των τοιχογραφιών πείθει πως οι άνθρωποι που έζησαν στη Θήρα, σε προϊστορικούς χρόνους, είχαν αίσθηση της γεωμετρίας. Η έρευνα οδήγησε στο συμπέρασμα πως γνώριζαν τη χρήση του στένσιλ. Πως το εφάρμοζαν στη ζωγραφική τους. Αυτή η παραδοχή ορίζει την έναρξη μιας σειράς συμπερασμάτων γύρω από το πολιτιστικό και πολιτισμικό παρελθόν ολόκληρης της ανθρωπότητας». Ο Κ. Παπαοδυσσέας επιστρέφει στο παρελθόν του. Θυμάται: «Πρωταντίκρισα της τοιχογραφίες του αρχαίου οικισμού το 1996. Η θέα τους με συνεπήρε. Για πρώτη φορά στη ζωή μου ερχόμουν τόσο κοντά σ’ έναν πολιτισμό που ήθελε να προβάλει την αρμονία της ειρήνης. Την ίδια στιγμή που το δέος με κατέκλυζε αναλογιζόμουν την ακρίβεια των ζωγραφισμένων σχημάτων που έβλεπα στους τοίχους. Από εκείνη τη στιγμή είπα πως θα ήθελα να αποδείξω ότι οι καλλιτέχνες που έδρασαν εκείνη την περίοδο, πριν 3700 χρόνια δηλαδή, δεν είχαν απλώς ανέλπιστα σταθερό χέρι, αλλά πως γνώριζαν και είχαν αφομοιώσει στην τέχνη τη γεωμετρία».

    a1Η ομάδα του Παπαοδυσσέα αυτή τη στιγμή συνεχίζει την έρευνά της – δεύτερο μέτωπο δράσης της – στη Μυκηναϊκή τοιχογραφία «Μυκηναία» στο Αρχαιολογικό Μουσείο. Ελπίζει πως σύντομα θα έχει ενδιαφέρουσες ανακοινώσεις να κάνει (έχει ήδη γίνει δημοσίευση για την Μυκηναία). Μία δεύτερη σημαντική δραστηριότητα της ίδιας επιστημονικής ομάδας έχει να κάνει με την ταυτοποίηση αναγνώρισης των γραφέων της αρχαιότητας. Έχει καλούς λόγους να πιστεύει πως η έρευνά της μπορεί να μας δώσει την ευκαιρία χρονολόγησης όλων των αρχαίων επιγραφών που ανακάλυψε και ανακαλύπτει η αρχαιολογική σκαπάνη. Ο Κ. Παπαοδυσσέας δηλώνει: «Η συγκεκριμένη έρευνα ξεκίνησε το 2000. Το 2010 ανακοινώσαμε την αναγνώριση εννέα γραφικών χαρακτήρων σε 46 επιγραφές της κλασικής περιόδου. Το ενδιαφέρον μας γύρω από το συγκεκριμένο πρότζεκτ δεν θα είχε εξελιχθεί αν πρώτα δεν μας είχε διαθέσει υλικό για μελέτη ο αρχαιολόγος, τέως διευθυντής της Αμερικανικής Σχολής Κλασικών Σπουδών, πλέον ερευνητής του Ινστιτούτου Ανωτάτων Σπουδών του Πρίνστον, Στίβεν Τρέισι».

    Η ομάδα των Ελλήνων επιστημόνων συγκεντρώνεται τα βράδια στο σπίτι του εμπνευστή της. Συζητά όσα θα απασχολήσουν το ξενύχτι της και μετά ρίχνεται στον «καμβά» της έρευνας μελετώντας πολιτισμούς. Ως σήμερα, μοναδικές ανταμοιβές της δουλειάς της είναι: λεκτικές επιβραβεύσεις, ηθικές ικανοποιήσεις, εσχάτως (τα τελευταία τέσσερα χρόνια) γενναία διεθνή αναγνώριση. Οι παλαιότεροι της ομάδας Π. Ρουσόπουλος και Μ. Παναγόπουλος δηλώνουν: «Ξένοι δημοσιογράφοι και επιστήμονες έχουν εκφραστεί με τα καλύτερα λόγια για όσα ερευνούμε, όσα ανακοινώνουμε. Ο πρώην διευθυντής της Αμερικανικής Αρχαιολογικής Σχολής της Αθήνας έχει εντυπωσιαστεί με την επιτυχία της μεθόδου μας. Επίσης έχουν μάθει για εμάς στο «Center of Hellenic Studies» του Harvard. Έχουμε ήδη ξεκινήσει συνεργασία με τον καθηγητή Chris Blackwell (συνεργάτης του CHS) για την ταυτοποίηση γραφέων παπύρων σε κώδικες. Η πιο πρόσφατη δημοσίευσή μας σχετίζεται με την ανάπτυξη αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκαν για την ορθή κατάταξη 23 Βυζαντινών κωδίκων σε 4 διαφορετικά χέρια. Σ’ αυτό το έργο εργάστηκαν μαζί μας και οι Δ. Αραμπατζής, Φ. Γιαννόπουλος, Σ. Ζάννος και Ε. Κάλφα. Τι άλλο; Χαρακτηριστικό είναι το γεγονός ότι, ενώ η ομάδα μας δεν τυγχάνει καμίας οικονομικής βοήθειας από την Ελλάδα, στο πανεπιστήμιο του Princeton, ένα από τα κορυφαία των Η.Π.Α. και του κόσμου, οργάνωσαν ειδικό μάθημα για δύο εργασίες που είχε εκδώσει ο καθηγητής μας γύρω από τα θέματα που μας απασχολούν σήμερα. Σε προσωπικό επίπεδο, οι θυσίες που έχουμε κάνει για την επιτυχία των προγραμμάτων που μας απασχολούν είναι πολλές. Μάθαμε να ζούμε μαζί τους. Δεν σταματάμε. Η έρευνα είναι κάτι συναρπαστικό. Το δέος που προκαλεί η θέα μιας ανακάλυψης δεν είναι ανταλλάξιμη αξία».

    a3Δύο χαρακτηριστικές δημοσιεύσεις γύρω από την ομάδα του Κ. Παπαοδυσσέα και το ερευνητικό της έργο:

    http://www.nature.com/news/2006/060228/full/news060227-3.html
    http://www.newscientist.com/article/dn17405-computer-reveals-stone-tablet-handwriting-in-a-flash.html
    Η τελευταία δημοσίευση της ομάδας του Παπαοδυσσέα.

    http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1077314214000101

  2. Β on

    Home
    math

    Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας
    —του Γιώργου Θεοχάρη—

    Ανάμεσα στα γνωστικά πεδία της εγκύκλιας παιδείας, φαίνεται πως τα μαθηματικά έχουν τον υψηλότερο δείκτη απέχθειας. Όλοι έχουμε ακούσει επανειλημμένως τη φράση «μισώ τα μαθηματικά». Υπάρχουν λόγοι να μισεί κανείς τα μαθηματικά; Ασφαλώς! Κατά πρώτον, τα μισεί όποιος μισεί το σχολείο ή/και τη γνώση συνολικά· αυτή η περίπτωση δεν ενδιαφέρει. Δεύτερον, τα μισεί όποιος ήταν τόσο άτυχος ώστε δεν βρέθηκε κατά την εκπαιδευτική του πορεία ούτε ένας εμπνευσμένος δάσκαλος να τον μάθει να τα αγαπάει· η περίπτωση ενδιαφέρει, αλλά εντάσσεται σε ένα πολύ ευρύτερο εκπαιδευτικό πρόβλημα που απαιτεί άλλη κουβέντα από την παρούσα. Τρίτον, τα μισεί όποιος πείστηκε από το (όποιο) περιβάλλον του ότι δεν έχει μυαλό για μαθηματικά – κυρίως τα κορίτσια, από το δημοτικό κιόλας· σε αυτή την κατηγορία των haters (ατάκα των οποίων είναι ο εντός εισαγωγικών προβοκατόρικος και σκοπίμως παραπλανητικός τίτλος) είναι αφιερωμένο (και στοχεύει) το παρόν σημείωμα.

    b65b0387ead0fdc0cd9b6f13cd1c72ce

    Όταν σε πολύ νεαρή ηλικία βρεθείς αντιμέτωπος με την κυρίαρχη (ακόμα και τώρα, σήμερα) αντίληψη ότι τα μαθηματικά (και οι θετικές επιστήμες γενικότερα) είναι «αντρική» υπόθεση, είναι φυσικό να τα μισήσεις, αν είσαι κορίτσι. Αλλά και αγόρι να είσαι, αν σε πείσουν ότι δεν τα «παίρνεις» τα μαθηματικά, πάλι θα τα μισήσεις. Και όμως, οι πάντες μπορούν να κάνουν μαθηματικά, ως ένα βαθμό. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι για να κάνεις μαθηματικά υψηλού επιπέδου, χρειάζεται ταλέντο (ό,τι κι αν σημαίνει αυτό). Κάποιοι άνθρωποι είναι γεννημένοι για τα μαθηματικά, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι όλοι οι υπόλοιποι πρέπει να αποθαρρύνονται από την ενασχόλησή τους με αυτά (στον βαθμό που τους αναλογεί, πάντα· δεν γίνεται να ζητάς από μια γάτα να γαβγίσει) και να στερηθούν έτσι τη χαρά (ναι, τη χαρά!) που μπορούν να αντλήσουν από εκεί. Δεν χρειάζεται να έχεις το ταλέντο του Αρχιμήδη, του Newton, του Euler ή του Gauss (για πολλούς, οι κορυφαίοι των κορυφαίων) για να κάνεις μαθηματικά· αν ήταν έτσι, τα μαθηματικά θα ήταν ένα γνωστικό πεδίο για τους ελάχιστους, τους «εκλεκτούς» – αλλά δεν είναι· καταρχήν, όλοι (κι εδώ κυριολεκτώ) μπορούν να κάνουν κάποια μαθηματικά. Επίσης, είναι από τις επιστήμες που δεν σου ζητάει να επενδύσεις παρά μόνο χαρτί και μολύβι· και φαιά ουσία. Τέλος, μέσα από τη μαθηματική σκέψη (ανεξαρτήτως επιπέδου) είναι στατιστικά εξακριβωμένο ότι ο άνθρωπος βελτιώνεται σε κάθε τομέα του επιστητού, σχετικού και άσχετου. Μεγάλη κουβέντα θα πω, αλλά θα την πω γιατί την πιστεύω: τα μαθηματικά (όπως και κάθε είδους γνώση) σε κάνουν καλύτερο άνθρωπο.

    haha yep

    Δεν θα επιχειρηματολογήσω υπέρ της εύκολα αποδείξιμης χρησιμότητας των μαθηματικών (το έχω κάνει στο πρόσφατο παρελθόν – βλ. εδώ)· αντίθετα, θα τα υποστηρίξω θεωρώντας τα παντελώς άχρηστα για την καθημερινή ζωή, όπως δηλαδή πιστεύουν οι περισσότεροι. Θα τα υποστηρίξω για αυτά καθ’ εαυτά, αγνοώντας την αδιαμφισβήτητη χρησιμότητά τους. Θα τα υποστηρίξω γιατί είναι αδικημένα στο μυαλό μυριάδων μαθητών διαχρονικά (και χωρίς να φταίνε γι’ αυτό ούτε οι μαθητές ούτε τα μαθηματικά). Θα τα υποστηρίξω αισθητικά.

    Καταρχάς, τα μαθηματικά έχουν ένα πλεονέκτημα: την απόδειξη. Όταν ισχυρίζεσαι κάτι, πρέπει να το αποδείξεις – καλύτερα: σου προσφέρονται τα εργαλεία, έχεις τη δυνατότητα να το αποδείξεις. Φυσικά, υπάρχουν προβλήματα που παραμένουν άλυτα, αλλά είναι θέμα χρόνου (σε μερικές περιπτώσεις πολύ χρόνου) να λυθούν. Και βέβαια, όταν μιλάμε για αποδείξεις, δεν πρέπει να ξεχνάμε και τις αρνητικές αποδείξεις, εκείνες δηλαδή που αποδεικνύουν ότι κάτι δεν ισχύει (λ.χ., το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Gödel) – και αυτές αποδείξεις είναι, και μάλιστα σημαντικότατες. Σ’ αυτό το σημείο ίσως αντιτείνει κάποιος ότι όλες οι επιστήμες, λίγο-πολύ, κάνουν χρήση της απόδειξης. Σύμφωνοι, αλλά όχι με τον κατηγορηματικό τρόπο των μαθηματικών (για να μην αναφέρω καν ότι ως προς τη χρήση της απόδειξης προηγούνται και χρονικά των άλλων επιστημών). Τα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούν την απόδειξη με τον τρόπο που τη χρησιμοποιεί, λ.χ., η ιστορία, τα οικονομικά ή οι πολιτικές επιστήμες (και ούτε λόγος για «επιστήμες» όπως η κοινωνιολογία ή η ψυχολογία – ούτε και για τη φιλοσοφία, η οποία, αν μη τι άλλο, δεν διεκδικεί επιστημονικές δάφνες)· η μαθηματική απόδειξη είναι ρητή και κατηγορηματική: αν αποδειχτεί σωστή, δεν επιδέχεται αμφισβήτηση. «Έτσι έχουν τα πράγματα και ορίστε η απόδειξη». Τελεία και παύλα.

    Ενίοτε δε, η μαθηματική απόδειξη είναι κομψή. Εδώ, στο αισθητικό κομμάτι, αξίζει να σταθώ λιγάκι παραπάνω. Ακόμα κι αν κάποιος παραμένει παράλογα αμετάπειστος ως προς τη χρησιμότητα των μαθηματικών, θα ήθελα να τον αναγκάσω να παραδεχτεί, κατ’ ελάχιστον, ότι κάποιες αποδείξεις είναι όμορφες. Αυτό είναι από μόνο του χρήσιμο (γιατί αν δεν είναι, τότε η μπάλα της ισοπέδωσης θα πάρει και τις καλές τέχνες!) Για να καταστήσω απολύτως σαφές το επιχείρημα της αισθητικής χαράς, θα χρησιμοποιήσω ένα κλασικό παράδειγμα από την ιστορία των μαθηματικών: την απόδειξη του Ευκλείδη για την ύπαρξη απείρου πλήθους πρώτων αριθμών. Για να συνεννοηθούμε, θα χρειαστεί να δώσω τους ορισμούς των πρώτων και των σύνθετων, αλλά –κατά τα άλλα– η απόδειξη είναι φιλική προς τους πάντες, ανεξαρτήτως μαθηματικής προπαιδείας. Άλλωστε, όπως ήδη ειπώθηκε, ο φιλόδοξος στόχος του παρόντος είναι να μεταπείσει όσους μισούν τα μαθηματικά. Για να δούμε…

    Ως πρώτος ορίζεται ένας φυσικός αριθμός (όπου φυσικοί είναι οι ακέραιοι πλην του 0) μεγαλύτερος της μονάδας που έχει την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.

    Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας που δεν είναι πρώτος ονομάζεται σύνθετος. Π.χ., ο αριθμός 3 είναι πρώτος, επειδή διαιρείται μόνο από το 1 και το 3, ενώ ο 4 είναι σύνθετος επειδή διαιρείται, εκτός από το 1 και το 4, και από το 2.

    (Το 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Το 0 συχνά δεν θεωρείται καν φυσικός αριθμός, ενώ για το 1 υπάρχουν τεχνικοί λόγοι που μας αναγκάζουν να μην το θεωρούμε πρώτο αριθμό.).

    Η ακολουθία των πρώτων μέχρι το 100 είναι η εξής:

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

    Όπως είναι φανερό, ο αριθμός 2 είναι ο μόνος ζυγός πρώτος αριθμός (γιατί όλοι οι υπόλοιποι ζυγοί, οι μεγαλύτεροι του 2, διαιρούνται, εκτός από το 1 και τον εαυτό τους, και από το 2 – τουλάχιστον). Συνεπώς, όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι μονοί.

    prime-numbers-up-to-100

    P._Oxy._I_29

    Ευκλείδη Στοιχεία, απόσπασμα παπύρου του Οξυρύγχου, 1ος αι. μ.Χ.

    Αυτά φτάνουν για να περάσουμε στην απόδειξη του Ευκλείδη για την ύπαρξη απείρου πλήθους πρώτων αριθμών, η οποία βρίσκεται στο Βιβλίο IX, Πρόταση 20 των Στοιχείωνi (3ος αιώνας π.Χ.). Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του είχε συγκεντρώσει περίπου όλη τη μαθηματική γνώση μέχρι και την εποχή του, συνεπώς δεν είναι απολύτως βέβαιο ότι η απόδειξη είναι δική του· από την άλλη, δεν υπάρχει κάποιος ιδιαίτερος λόγος να υποθέσουμε ότι δεν είναι δική του. Αυτό όμως μικρή σημασία έχει· εκείνο που είναι σημαντικό είναι η ίδια η απόδειξη. Δεν θα την παραθέσω κατά λέξη γιατί η γλώσσα του Ευκλείδη ξενίζει τον σύγχρονο αναγνώστη, ακόμα και σε μετάφραση· θα προτιμήσω μία διασκευή, αλλά η ουσία –εγγυημένα– παραμένει η ίδια.

    Πρέπει να αποδείξουμε ότι οι πρώτοι είναι άπειροι. Προς τούτο, ας υποθέσουμε ότι δεν είναι άπειροι, και ότι η πλήρης ακολουθία των 2, 3, 5 κ.λπ. τελειώνει στον αριθμό P, τον μεγαλύτερο πρώτο.

    Με αυτή την υπόθεση κατά νου, ας θεωρήσουμε έναν αριθμό Q ο οποίος ορίζεται ως εξής:

    Q = (2·3·5· … ·P) +1

    Τώρα, υπάρχουν δύο δυνατότητες, σε ό,τι αφορά τον Q: είτε είναι πρώτος είτε δεν είναι.

    Αν είναι πρώτος, τότε έχουμε ήδη βρει έναν πρώτο αριθμό που είναι σαφώς μεγαλύτερος από τον P, για τον οποίο είχαμε υποθέσει ότι είναι ο μεγαλύτερος πρώτος (δηλαδή, ο τελευταίος της ακολουθίας).

    Αν, όμως, δεν είναι πρώτος; Δεν γίνεται να μην είναι πρώτος. Και να γιατί:

    Οι πρώτοι είναι το υλικό με το οποίο χτίζονται όλοι οι αριθμοί μέσω πολλαπλασιασμού, και μάλιστα με τρόπο μοναδικό (θεώρημα που επίσης περιέχεται στα Στοιχεία: Βιβλίο IX, Πρόταση 14, σε συνδυασμό με Βιβλίο VII, Προτάσεις 30 & 32): λ.χ., ο αριθμός του κτήνους, το 666 = 2·3·3·37 (όλοι πρώτοι). Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός διαιρείται από έναν τουλάχιστον πρώτο (συνήθως, προφανώς από περισσότερους). Εντούτοις, ο Q, διαιρούμενος από τον κάθε πρώτο ξεχωριστά, μέχρι και τον P, τον υποτιθέμενο μεγαλύτερο πρώτο, αφήνει πάντα υπόλοιπο 1. Με άλλα λόγια, ο Q είναι πρώτος, γιατί διαιρείται μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό του. Ναι, αλλά εμείς είχαμε υποθέσει ότι ο P είναι ο μεγαλύτερος πρώτος και τώρα βλέπουμε ότι ο Q, που είναι σαφώς μεγαλύτερος από τον P, είναι κι αυτός πρώτος. Άρα η αρχική μας υπόθεση –ότι ο P είναι ο μεγαλύτερος πρώτος– είναι εσφαλμένη. Κι αφού μπορούμε ανά πάσα στιγμή να παράγουμε έναν πρώτο μεγαλύτερο από οποιονδήποτε άλλον πρώτο, έχουμε αποδείξει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι.

    Μαγεία! Αν αυτή η απόδειξη δεν είναι ο ορισμός της κομψότητας, τότε δεν ξέρω τίποτα για τη συγκεκριμένη έννοια.

    Γράφει σχετικά ο σπουδαίος μαθηματικός G.H. Hardy, απολύτως γοητευμένος: «Η απόδειξη έγινε με εις άτοπον απαγωγή, και η εις άτοπον απαγωγή, που ο Ευκλείδης αγαπούσε τόσο πολύ, είναι ένα από τα ωραιότερα όπλα του μαθηματικού. Είναι πιο όμορφο από οποιοδήποτε σκακιστικό γκαμπίii. Ένας σκακιστής μπορεί να θυσιάσει ένα πιόνι, ή ακόμα και ένα κομμάτι, αλλά ο μαθηματικός προσφέρει το ίδιο το παιγνίδι».iii Έτσι ακριβώς!

    Όπως είδατε, δεν χρειάστηκαν τίποτα τρομερά μαθηματικά στον Ευκλείδη για να αποδείξει την απειρία των πρώτων και να προσφέρει στην ανθρωπότητα ένα κομψοτέχνημα! Βέβαια, δεν είναι όλες οι αποδείξεις τόσο συγκλονιστικές μέσα στην ιδιοφυή τους απλότητα· υπάρχουν αποδείξεις που όντως απαιτούν τρομερά μαθηματικά και που τραβάνε σε μάκρος δυσθεώρητο. Εντούτοις, σε πρώτο επίπεδο, τα μαθηματικά, καίτοι η αυστηρότερη των επιστημών, έχουν μια χάρη ανυπέρβλητη. Σκέφτομαι όλα εκείνα τα παιδιά, αγόρια και κορίτσια (και περιττό να πω ότι τα κορίτσια είναι, διανοητικά μιλώντας, εξίσου εξοπλισμένα με τα αγόρια για να κάνουν μαθηματικά – ελπίζω ότι αυτό τουλάχιστον είναι πλέον αυταπόδεικτο) που ωθήθηκαν να μισήσουν τα μαθηματικά και θλίβομαι. Σκέφτομαι τη χαρά που απώλεσαν λόγω ενός ευεξήγητου μεν, απαράδεκτου δε, μίσους· την πνευματική χαρά – γιατί τα μαθηματικά είναι, καταρχήν, ένα πνευματικό παιχνίδι. Σκέφτομαι ότι αν είχε βρεθεί στον δρόμο τους ένας χαρισματικός εκπαιδευτικός (ή γονιός), ικανός να τους εμφυσήσει την αγάπη του για την επιστήμη, θα είχε αλλάξει, έστω και κατά τι, έστω και απειροελάχιστα, η ζωή τους προς το καλύτερο. Αλλά μη μασάτε: ποτέ δεν είναι αργά!

    The-Art-Curator-for-Kids-13-Ways-to-Integrate-Art-and-Math-Math-Art-Projects

    i Τα Στοιχεία (ή Στοιχείωσις, όπως ήταν στην πραγματικότητα ο τίτλος του) του Ευκλείδη είναι το πιο φημισμένο σύγγραμμα στην ιστορία των μαθηματικών και ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της παγκόσμιας γραμματείας. Μόνο η Βίβλος το ξεπερνάει σε αριθμό εκδόσεων. Πρόκειται για το βιβλίο που έμαθε τον κόσμο (κυριολεκτικά: τον κόσμο όλο) γεωμετρία. Αποτελείται από 13 “βιβλία” (κεφάλαια), μεταξύ των οποίων τα VII–IX περιέχουν τη θεωρία των αριθμών. Για όποιον ενδιαφέρεται, ολόκληρο το έργο σε σχολιασμένη μετάφραση (πρόκειται για την τρίτομη έκδοση του 2001 από το Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης), βρίσκεται στο Διαδίκτυο.

    ii Γκαμπί: σκακιστικός όρος για τη “θυσία” κομματιού που όμως επιφέρει πλεονέκτημα.

    iii G.H. Hardy, Η Απολογία ενός Μαθηματικού, μετάφραση: Δημήτης Καραγιαννάκης & Μιχάλης Λάμπρου, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1993, σ. 69.

    http://dimartblog.com/2016/01/09/hate-math/#like-59228

  3. Β on

  4. Η μαθηματική όψη της μουσικής του Μπαχ
    Posted on 01/04/2016 by physics4u
    Η ευφυΐα του Γερμανού συνθέτη της εποχής Μπαρόκ Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ (1685-1750) είναι αναγνωρισμένη εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, επίσης, αρκετές αναλύσεις και προσεγγίσεις της μουσικής του, η οποία παραμένει μέχρι σήμερα ανεξάντλητη πηγή πνευματικής έμπνευσης για μουσικούς, συγγραφείς αλλά και μαθηματικούς. Αυτή τη διάσταση της μουσικής του Μπαχ αναδεικνύει ο μηχανολόγος μηχανικός και λάτρης της μαθηματικής επιστήμης Jos Leys.

    Bach

    Ο Jos Leys έστρεψε το ενδιαφέρον του σε ένα από τα σπουδαιότερα μουσικά έργα του Μπαχ το οποίο διακρίνεται για τον πλούτο και την πολυπλοκότητά του. Δεν στάθηκε στην ακουστική απόλαυση που προσφέρει η μουσική, αλλά προχώρησε στην οπτική αναπαράσταση του αινιγματικού Κανόνα 1 και 2 του έργου «Μεγάλη Προσφορά» (1747) του συνθέτη.

    Στο βίντεο που ακολουθεί μπορείτε να παρατηρήσετε την πορεία της μουσικής στην παρτιτούρα νότα-νότα και να δείτε πώς το μουσικό κομμάτι εξελίσσεται και αντιστρέφεται κινούμενο προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στη συνέχεια, η παρτιτούρα παρουσιάζεται ως μια ενιαία μουσική ακολουθία που εκτελείται ταυτόχρονα προς τα πίσω και προς τα εμπρός. Ο Jos Leys αποκαλύπτει, μέσα από αυτή τη διαδικασία, αντιστοιχίες της μουσικής του Μπαχ με τη φόρμα της περίφημης λωρίδας του Möbius.

    moebius

    Αν ταξιδεύατε μέσα σε ένα σύμπαν Möbius (Μέμπιους), θα επιστρέφατε στο σημείο στο οποίο ξεκινήσατε με τη δεξιά και αριστερά πλευρά σας αντεστραμμένες. Αν κάνατε έναν ακόμα γύρο της λωρίδας, όταν επιστρέφατε στο σημείο εκκίνησης τα όργανά σας θα είχαν πάρει πάλι τον αρχικό προσανατολισμό τους. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δημιουργήσουμε μουσική Μέμπιους. Η μουσική παίζεται κανονικά την πρώτη φορά. Όταν ο μουσικός φτάσει στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε, παίζει πάλι τη μουσική, αλλά με κάποιες παραλλαγές. Για παράδειγμα, τη δεύτερη φορά η παρτιτούρα μπορεί να είναι κατοπτρική της πρώτης, ή να παίζεται ανάποδα.

    Ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ έγραψε «μουσική Μέμπιους» – για παράδειγμα, ο Καρκινικός Κανόνας – στην οποία ο μουσικός μπορεί να παίξει ένα κομμάτι και μετά να αναποδογυρίσει την παρτιτούρα και να παίξει το ίδιο κομμάτι.

    Πηγή Γιώργος Καρουζάκης

  5. Η ομορφιά των μαθηματικών και ο ανθρώπινος εγκέφαλος
    Posted on 06/10/2014 by physics4u
    Σύμφωνα με έρευνα που δημοσιεύεται στο περιοδικό Frontiers in Human Neuroscience, μία μαθηματική απόδειξη μπορεί να διεγείρει το ίδιο τμήμα του εγκεφάλου με αυτό που επηρεάζει η τέχνη και η ιδέα της ομορφιάς γενικότερα.

    egkefalos-mathimatika
    Στην έρευνα, τρεις νευρολόγοι από πανεπιστήμια της Βρετανίας χρησιμοποίησαν ένα μαγνητικό τομογράφο με τον οποίο απεικόνισαν την εγκεφαλική δραστηριότητα 15 ανθρώπων που ασχολούνται επαγγελματικά με τα μαθηματικά.

    Κατά τη διάρκεια του πειράματος, οι ερευνητές προέβαλαν σε μία οθόνη μαθηματικούς τύπους με τυχαία σειρά, οι οποίοι προηγουμένως είχαν αξιολογηθεί ως όμορφοι, ουδέτεροι ή άσχημοι σε μία κλίμακα από το -5 έως το 5.

    Τα αποτελέσματα από τις τομογραφίες, δείχνουν παρόμοια εγκεφαλική δραστηριότητα με αυτή που προκαλείται από την εμπειρία της ομορφιάς μέσω της τέχνης, όπως αυτή που προκαλεί ένας πίνακας ζωγραφικής ή η ακρόαση μουσικής.

    Η ομορφιά ενός μαθηματικού τύπου ίσως να είναι αποτέλεσμα της απλότητας, της συμμετρίας και της κομψότητας στη διατύπωση μιας οικουμενικής αλήθειας. Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά αποτελούσαν ύψιστη κορύφωση της ομορφιάς»

    «Αυτό που το κάνει ενδιαφέρον, είναι πως μαθαίνουμε πως η εμπειρία της ομορφιάς σε κάτι τόσο αφηρημένο όπως τα μαθηματικά συσχετίζεται με τη δράση που έχουν στο ίδιο τμήμα του εγκεφάλου αισθητήρια που έχουν να κάνουν με συναισθήματα και αντιλήψεις», δήλωσε σχετικά ο Σεμίρ Ζέκι, καθηγητής Νευροβιολογίας του πανεπιστημίου UCL στην Αγγλία.

    «Η ομορφιά ενός μαθηματικού τύπου ίσως να είναι αποτέλεσμα της απλότητας, της συμμετρίας και της κομψότητας στη διατύπωση μιας οικουμενικής αλήθειας. Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά αποτελούσαν ύψιστη κορύφωση της ομορφιάς», συνέχισε ο καθηγητής.

    Στα αξιωσημείωτα είναι πως στην κλίμακα ομορφιάς ξεχωριστή θέση έλαβε η ταυτότητα του Euler 1 + eiπ = 0, η οποία παρά την απλότητά της εμπλέκει τις σημαντικότερες πέντε μαθηματικές σταθερές μέσω των τριών βασικών αριθμητικών πράξεων ή το θεώρημα του Πυθαγόρα και οι σχέσεις Cauchy-Riemann στη μιγαδική ανάλυση.

    Στον αντίποδα, ως η πιο άσχημη εξίσωση βρέθηκε το ανάπτυγμα του Srinivasa Ramanujan της ποσότητας 1/π ως το άθροισμα μίας άπειρης σειράς όρων.

    Τα αποτελέσματα της συγκεκριμένης έρευνας δίνουν ορισμένες παραπάνω πληροφορίες στους ερευνητές που μελετάνε το θέμα της ομορφιάς και της αισθητικής, και προσπαθούν να διαπιστώσουν εάν οι αισθητικές εμπειρίες μπορούν με κάποιον τρόπο να ποσοτικοποιηθούν, ένα ερώτημα που οι φιλοσοφικές του ρίζες το τοποθετούν βρίσκονται στην αρχαιότητα.

    https://physics4u.wordpress.com/2014/10/06/%CE%B7-%CE%BF%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%B9%CE%AC-%CF%84%CF%89%CE%BD-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%BF-%CE%B1%CE%BD%CE%B8%CF%81%CF%8E%CF%80/

  6. Joseph B. Keller, Mathematician With Whimsical Curiosity, Dies at 93

    By SAM ROBERTSSEPT. 16, 2016

    Joseph B. Keller in 1978. He figured out why a jogger’s ponytail swings from side to side and what makes teapots drip. Credit Paul R. Halmos, Archives of American Mathematics, University of Texas at Austin
    Joseph B. Keller, an honored mathematician who figured out what makes a jogger’s ponytail swing from side to side, why teapots dribble, how earthworms (but not snakes) can wriggle even on glass and, in his spare time, whether underwater nuclear tests could set off tsunamis, died on Sept. 7 at his home in Palo Alto, Calif. He was 93.

    The cause was kidney cancer, according to Stanford University, where he was professor emeritus of mathematics and of mechanical engineering.

    With a restless curiosity, Professor Keller delved into practical and often playful enigmas, developing mathematical formulas to explain a wide range of contingencies, from the esoteric to the everyday. He applied mathematic theories, for example, in analyzing the ranking of sports teams and the popularity of web pages.

    He invoked a theory of queues to explain why adding just a few more flights at an airport delays so many others. Suppose, he said, that 10 planes are circling an airport waiting to land. Suppose that one plane lands every minute and that another arrives every minute, joining the queue. That means that in an hour 60 planes land and 60 arrive, and each has a 10-minute wait. None is late.

    “Now suppose five extra planes arrive, so that 15 planes are waiting,” Professor Keller said. “Then each will have a 15-minute wait. A plane with a 15-minute wait is counted as a late arrival. Adding just five planes in one hour increases late arrivals from 0 to 60.”

    A recipient of the prestigious Wolf Prize in Mathematics, the National Medal of Science and other honors, Professor Keller was best known for his geometrical theory of diffraction, developed while he was teaching at New York University. The theory, grounded in research into the sonar detection of submarines and underwater explosive mines during World War II, explained how acoustic, electromagnetic and other waves traveled, bouncing off objects and even bending around corners. Even more, he showed how the theory could be applied in a practical way to sonar and radar, antenna design and stealth technology (like missile nose cones shaped to defy detection).

    Joseph Bishop Keller was born in Paterson, N.J., on July 31, 1923. His father, Isaac Keiles — whose name, he said, was changed when he arrived in the United States — was a Russian refugee who fled pogroms against Jews. He sold liquor wholesale during Prohibition and later opened a bar. Professor Keller’s mother, Sarah, was born in England after her family had fled Russia, and was the bar’s bookkeeper.

    Joseph Keller competed on the math team at East Side High School in Paterson. He was inspired by his father, who challenged him and his younger brother, Herbert, who also became a mathematician, with number puzzles at dinner.

    Joseph earned a bachelor’s degree in math and physics from New York University in 1943, followed by a master’s and a doctorate there. He remained at N.Y.U. and became a math professor. He joined the Stanford faculty in 1979 and was named professor emeritus in 1993

    He is survived by his wife, Alice Segers Whittemore, a professor of epidemiology and biomedical data science at the Stanford School of Medicine; two children, Sarah and Jeffrey Keller, from his first marriage, to the former Evelyn Fox, which ended in divorce; two stepdaughters, Gayle Whittemore and Margot Palermo; and 10 grandchildren and step-grandchildren.

    Some of Professor Keller’s conclusions may seem deceptively simple, given the abstruse mathematical equations he constructed to reach them.

    When the United States was testing atomic weapons at Bikini Atoll in the Pacific beginning in 1946, he predicted correctly that the shock waves from explosions would dissipate without causing far-flung tsunamis.

    As for the jogger’s ponytail, he concluded that it swings from side to side instead of up and down because the jogger’s vertical motion is unstable. In a paper titled “Ponytail Motion,” before demonstrating his findings with mathematical formulas, he wrote:

    “The ponytail of a running jogger sways from side to side, but the jogger’s head generally does not move from side to side. The head just moves up and down, so the ponytail also moves up and down with it. But, as we shall show, this vertical motion of the hanging ponytail is unstable to lateral perturbations. The resulting lateral motion, the swaying, is an example of parametric excitation, a phenomenon which is common in oscillating mechanical and electrical systems.”

    Professor Keller found that teapots drip not because of surface tension on the pot but because of principles of liquid flow and air pressure.

    “It is simply that at the pouring lip, the pressure in the liquid is lower than the pressure in the surrounding air,” he told an interviewer, “so air pressure pushes the tea against the lip and against the outside of the spout.”

    (To avoid teapot drip, he advised against putting too much water in the pot. “Tea from a less full pot will flow with greater velocity,” he said. “The faster the flow, the less likely it is that the tea will cling to the lip.”)

    For the teapot and ponytail discoveries, he was given, in each case, an Ig Nobel Prize (as in ignoble), awarded by Harvard and Radcliffe students for “achievements that first make people laugh, then make them think.”

    Professor Keller also learned that an earthworm moves by sending waves of expansion and contraction along its body, while a snake, which has a backbone, needs friction to propel itself.

    He tackled brain twisters in virtually every scientific domain.

    “First of all, I have to understand the phenomenon, so that limits me right away,” he told the journal Notices of the American Mathematical Society in 2004. “Then I have to recognize there is a mathematical aspect to it, and I have to be able to make some progress on it.”

    He was inspired by many professors and mentored many students. But while briefly teaching at Princeton, he said, he encountered Albert Einstein there only twice.

    “Once I walked past him on the street,” he recalled. “Another time I went to a lecture by Bertrand Russell, and Einstein was in the audience. I fell asleep, but Einstein didn’t. So I figured it was easy for me, and hard for Einstein.”

    http://www.nytimes.com/2016/09/17/us/joseph-b-keller-mathematician-with-whimsical-curiosity-dies-at-93.html?_r=2


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: